Mangfoldighed (matematik)

For alternative betydninger, se Manifold.

I matematik, eller mere præcist i differentialgeometri og topologi, er en mangfoldighed (eng. manifold) et matematisk rum, der på en lille nok skala ligner euklidisk rum af en bestemt dimension, der kaldes mangfoldighedens dimension. Eksempler på et-dimensionale mangfoldigheder er en linje og en cirkel, og eksempler på mangfoldigheder af dimension to er en plan og en sfære (overfladen af en kugle). Formelt er en n-dimensional topologisk mangfoldighed et rum, hvor hvert punkt har en omegn, der er homøomorf til en åben mængde i Rⁿ. En mangfoldighed kaldes også for en varietet.

Selvom mangfoldigheder ligner euklidisk rum nær ethvert punkt ("lokalt"), kan en mangfoldigheds globale struktur være mere kompliceret. For eksempel er ethvert punkt på den to-dimensionale kugleoverflade omgivet af et område, der kan trykkes sammen til en delmængde af planen, som på et geografisk kort, men som helhed ligner kugleoverfladen ikke planen: I topologiens sprog er de to rum ikke homøomorfe, selvom de ganske vist er det lokalt. Strukturen på en mangfoldighed beskrives ved en samling af kort, der danner et atlas analogt til et atlas, der består af en samling (lokale – plane) kort over Jordens (sfæriske / krumme kugle-) overflade.

Mangfoldighedsbegrebet er centralt i mange dele af geometri og moderne matematisk fysik, fordi det tillader mere komplicerede strukturer at blive udtrykt og forstået ved hjælp af simplere rum, der vil være mere velkendte. For eksempel vil en mangfoldighed oftest udstyres med en glat struktur, der gør det muligt at lave differentialregning på rummet, og med en riemannsk metrik, der gør det muligt at give mening til begreber som afstand og vinkel. Andre eksempler på mangfoldigheder med yderligere stukturer omfatter symplektiske mangfoldigheder, der fungerer som faserum i Hamiltonformalismen i klassisk mekanik, mens fire-dimensionale Lorentzmangfoldigheder modellerer rumtiden i generel relativitetsteori.